[스피커 이론 공식 정리]

🧲 1. 자기장 방정식 (Magnetic Fields)

스피커의 보이스코일에 힘을 만드는 자석 관련 수식.

- 맥스웰 방정식 (자기장 지배 방정식)

① 암페어 법칙

∇ × H = J

H : 자기장의 세기 (A/m)
J : 전류밀도 (A/m²) ← 코일에 흐르는 전류
∇× : 회전(curl) 연산자 ← "주변을 빙 돌면서 얼마나 변하나"

 

쉽게 말하면: 전류가 흐르면 주변에 자기장이 생긴다

 

 

② 패러데이 법칙

∇ × E = -∂B/∂t

E : 전기장 (V/m)
B : 자속밀도 (T, 테슬라)
∂/∂t : 시간에 따른 변화율

 

쉽게 말하면: 자기장이 변하면 전기장이 생긴다 (역기전력의 원인!)

 

 

③ 가우스 법칙 (자기)

∇ · B = 0

 

쉽게 말하면: 자기력선은 끊기지 않고 항상 루프를 이룬다 (N극만 따로 없음)

 

 

④ 자속밀도와 자기장의 관계

B = μ₀(H + M)

μ₀ : 진공 투자율 (4π × 10⁻⁷ H/m)
M : 자화벡터 ← 영구자석의 성질

 

 

- 주파수 영역으로 변환하면

시간 미분 ∂/∂t → jω 로 바꿈

∇ × H = J
∇ × E = -jωB
∇ · B = 0
B = μ₀(H + M)

ω : 각주파수 (= 2πf)
j : 허수단위 (√-1)

 

이렇게 하면 시간 대신 주파수로 풀 수 있어서 훨씬 계산이 쉬워집니다

 

 

🔊 2. 음향 압력 방정식 (Pressure Acoustics)

공기 중에 소리가 어떻게 퍼지는가를 나타내는 수식입니다.

- 시간 영역: 스칼라 파동방정식

1/c² · ∂²p/∂t² - ∇²p = Qm + ∇·(Fd/ρ)  ← (간략화)

p  : 음압 (Pa, 파스칼)
ρ  : 공기 밀도 (kg/m³) → 보통 1.2 kg/m³
c  : 음속 (m/s) → 공기 중 약 343 m/s
∇² : 라플라시안 ← "공간적으로 얼마나 퍼지나"
Qm : 질량 소스 (보통 0)
Fd : 외력 소스 (보통 0)

 

 

쉽게 말하면 : 시간에 따른 압력 변화 = 공간적으로 퍼지는 압력 변화 → 이게 파동!

 

 

 

- 주파수 영역: 헬름홀츠 방정식

∇²p + (ω/c)²p = 0  ← (소스 없을 때)

또는

-∇·(1/ρ ∇p) - ω²p/ρc² = Qm

 

 

왜 헬름홀츠?

sin(ωt) 형태의 소리는 주파수가 고정
→ 시간항을 없애고 공간만 풀면 됨
→ 훨씬 빠른 계산!

 

 

- 50mm 스피커에 적용하면

f = 1000 Hz일 때
λ = 343/1000 = 0.343 m = 34.3 cm

스피커(5cm) << 파장(34cm)
→ 헬름홀츠 방정식으로 충분!

 

 

🏗️ 3. 고체 역학 방정식 (Solid Mechanics)

진동판(콘), 서스펜션 등 스피커 기계부품의 진동을 나타냅니다.

- 뉴턴 제2법칙 (F = ma)의 연속체 버전

시간 영역:
ρ · ∂²u/∂t² = ∇ · σ + F

ρ  : 재료 밀도 (kg/m³)
u  : 변위벡터 (m) ← 얼마나 움직였나
σ  : 응력텐서 (Pa) ← 내부 힘
F  : 외력 (N/m³) ← 로렌츠힘, 음압 등
∂²u/∂t² : 가속도

쉽게 말하면:질량 × 가속도 = 내부탄성력 + 외부힘
(진동판이 전자기력 받아서 진동)

 

- 주파수 영역으로 변환

-ω²ρu = ∇ · σ + F·e^(jφ)

φ : 외력의 위상각

 

 

- 응력-변형률 관계 (후크의 법칙)

σ = C : ε

C : 탄성계수 텐서
ε : 변형률 텐서 = (∇u + (∇u)ᵀ)/2

 

 

- 50mm 스피커 진동판에 적용

진동판 재질: 보통 종이, 마일러, 알루미늄
→ 각 재질의 ρ, E(영률), ν(푸아송비) 입력
→ 진동 모양(모드) 계산 가능

 

 

 

🌡️ 4. 열점성 음향 방정식 (Thermoviscous Acoustics)

아주 좁은 공간에서 소리가 열과 점성의 영향을 받는 현상입니다.

- 언제 필요한가?

좁은 틈새, 포트(구멍), 음향 필터 등
점성 경계층 두께 δ = √(2μ/ρω)

f=1kHz일 때 공기: δ ≈ 0.05 mm
→ 틈새가 이보다 작으면 반드시 고려!

 

 

- 3개의 연립방정식

① 연속방정식 (질량 보존)

∂ρ'/∂t + ρ₀(∇·v) = 0

ρ' : 밀도 변화량
v  : 음향 속도

 

 

② 나비에-스토크스 방정식 (운동량 보존)

ρ₀∂v/∂t = -∇p + μ∇²v + (μ_B + μ/3)∇(∇·v) + F

μ   : 동점성계수 (공기: 1.8×10⁻⁵ Pa·s)
μ_B : 체적점성계수

 

 

쉽게 말하면: 끈적한 공기 속에서의 힘의 균형

 

③ 에너지 방정식 (열 보존)

ρ₀Cp·∂T'/∂t = κ∇²T' + αT₀·∂p/∂t + Q

T' : 온도 변화량
Cp : 정압 비열
κ  : 열전도율
α  : 열팽창계수

 

쉽게 말하면: 소리가 퍼지면서 열도 같이 발생/흡수

 

 

⚡ 5. 멀티피직스 커플링 방정식

서로 다른 물리 현상들을 연결하는 핵심 수식입니다.

① 로렌츠 커플링 (전자기 ↔ 구조)

F = J × B    ← 전자기력 (코일에 힘 발생)
E_ind = v × B ← 역기전력 (코일이 움직이면 전압 발생)

J : 전류밀도
B : 자속밀도
v : 코일 속도

 

 

스피커 동작 원리 그 자체!

전류 → 자기장 속에서 힘 → 코일 움직임
코일 움직임 → 역기전력 발생 → 전류 제한
(이 두 방향이 동시에 일어남)

 

② 음향-구조 경계 커플링

경계면에서:
n · ∇p = -ρ · aₙ    (유체 측)
F_load = -p · n      (구조 측)

n   : 법선벡터 (경계면의 수직방향)
aₙ  : 구조의 법선 가속도
F   : 유체가 구조에 가하는 힘

 

 

쉽게 말하면:진동판이 움직이는 가속도 → 공기에 전달

공기 압력 → 진동판에 힘으로 작용(

양방향으로 주고받음!)

 

③ 음향-열점성 경계 커플링

법선응력 연속: σ_tv·n = -p_pa·n
법선가속도 연속: aₙ_tv = aₙ_pa
온도조건: ∂T/∂n = 0 (단열)

 

 

④ 열점성-구조 경계 커플링

시간 영역: v = ∂u/∂t
주파수 영역: v = jω·u

v : 유체 속도
u : 구조 변위

 

유체와 구조가 경계에서 같은 속도로 움직여야 한다는 조건

 

 

📊 전체 연결 구조 정리

[전기 입력 신호]
      ↓
[자기장 방정식] → 로렌츠힘 →  [고체역학 방정식]
      ↑ 역기전력 ←                    ↓ 진동판 가속도
                          음향-구조 커플링
                                ↓
                    [음향 압력 방정식]
                    (넓은 공간: 헬름홀츠)
                          +
                    [열점성 음향]
                    (좁은 틈새)
                                ↓
                    [귀에 들리는 소리]